圆锥曲线是几何中的重要课题之一。由一个右圆锥体与一个平面相交而形成的曲线称为“圆锥曲线”。它在欧几里德几何中具有显著的性质。锥体的顶点将其分为两个推覆体，称为上部推覆体和下部推覆体。
在图B中，圆锥与平面相交，这样获得的截面称为圆锥截面。根据与圆锥相交的平面的位置和相交角β，获得不同类型的圆锥截面。即
- 圈
- 椭圆
- 抛物线
- 双曲线
你在车里看到的后视镜或者在地铁站遇到的巨大的圆形银色后视镜都是曲线的例子。曲线在任何地方都有巨大的应用，无论是行星运动的研究，望远镜，卫星，反射器等的设计。圆锥曲线是由一个平面与一个双推覆的右圆锥相交时得到的曲线组成的。关于圆锥曲线在11类中已经有了广泛的解释。让我们来讨论圆锥不同截面的形成、公式及其意义。
圆锥曲线公式
在此处提供的表格中检查圆锥体不同截面类型的公式。
| 圆 | （x−a）2 +（y−b）2 = r 2 | 中心是 （a，b）
半径为 r |
| 椭圆与水平主轴 | （x−a）2 / h 2 +（y−b）2 / k 2 = 1 | 中心是 （a，b） 主轴的长度是 2h。 短轴的长度为 2k。 中心与任一焦点之间的距离为 c， 其中 c 2 = h 2 -k 2，h> k> 0 |
| 垂直长轴的椭圆 | （x−a）2 / k 2 +（y−b）2 / h 2 = 1 | 中心是 （a，b） 主轴的长度是 2h。 短轴的长度为 2k。 中心与任一焦点之间的距离为 c， 其中 c 2 = h 2 -k 2，h> k> 0 |
| 水平双曲线双曲线 | （x-a）2 / h 2-（y-b）2 / k 2 = 1 | 中心是 （a，b） 顶点之间的距离是 2h 焦点之间的距离是 2k。 c 2 = h 2 + k 2 |
| 横轴垂直的双曲线 | （x-a）2 / k 2-（y-b）2 / h 2 = 1 | 中心是 （a，b） 顶点之间的距离是 2h 焦点之间的距离是 2k。 c 2 = h 2 + k 2 |
| 抛物线与水平轴 | （yb ）2 = 4p（xa）， p≠0 | 顶点是 （a，b） 焦点是 （a + p，b） Directrix是线 x = a−p 轴是线 y = b |
| 垂直轴抛物线 | （x−a）2 = 4p（y−b）， p≠0 | 顶点是 （a，b） 焦点是 （a + p，b） Directrix是线 x = b−p 轴是线x = a |
圆锥的焦点，偏心率和方向
圆锥截面也可以描述为点P的轨迹，该点在固定点F（称为焦点（F））和固定线d称为Directrix（焦点不在d）上的平面中移动，使得点P到焦点F的距离与焦点到d的距离之比是一个常数e，称为偏心距。现在，
- 如果偏心率e = 0，则圆锥为圆
- 如果0 <e <1，则圆锥为椭圆形
- 如果e = 1，则圆锥曲线为抛物线
- 如果e> 1，那就是双曲线
因此，偏心率是椭圆与圆形偏离的量度。假设圆锥体的表面与其轴线之间的夹角为β，切割面与轴线之间的夹角为α，则偏心度为；
e = cosα/ cosβ
圆锥参数
除了焦点，偏心率和方向外，在圆锥部分下定义的参数很少。
- 主轴：连接椭圆或双曲线的两个焦点或焦点的线。它的中点是曲线的中心。
- 线性偏心率：焦点和截面中心之间的距离。
- 腹直肌：平行于准线的截面和弦，通过焦点。
- 焦点参数：从焦点到相应方向的距离。
- 长轴：弦连接两个顶点。它是椭圆的最长和弦。
- 副轴：椭圆的最短和弦。
圆锥截面
考虑一条固定的垂直线“ l”，另一条线“ m”在点V与“ l”相交的角度为“α”，如下所示：
上图A中提到的首字母具有以下含义：
- V是圆锥体的顶点
- l是圆锥的轴
- m旋转线是圆锥的发生器
让我们简要地讨论一下当平面切割尿布（不包括顶点）时形成的不同圆锥截面。
圆锥截面圆
如果β= 90 o，则形成的圆锥截面为圆形，如下所示。
圆锥截面椭圆
如果α<β<90 o，则形成的圆锥截面为椭圆，如下图所示。
圆锥截面抛物线
如果α=β，则形成的圆锥截面为抛物线（用橙色曲线表示），如下所示。
圆锥截面双曲线
如果0≤β<α，则平面与尿布和圆锥形截面都相交，因此形成的曲线称为双曲线（由橙色曲线表示）。
圆锥截面标准表格
引入直角坐标后，可以使用focus-directrix属性编写由圆锥截面的点提供的方程。当坐标随着轴的旋转和平移而变化时，我们可以将这些方程式转换为标准形式。对于椭圆和双曲线，标准形式以x轴为主轴，以原点（0,0）为中心。顶点为（±a，0），焦点为（±c，0）。 对于椭圆，用方程c 2 = a 2 -b 2定义b，对于双曲线，用c 2 = a 2 + b 2定义b 。
对于一个圆，c = 0，所以a 2 = b 2。对于抛物线，标准形式的焦点集中在点（a，0）的x轴上，而准线是方程x = -a的线。在标准形式下，抛物线将始终穿过原点。
- 圆：x 2 + y 2 = a 2
- 椭圆：x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1
- 双曲线：x 2 / a 2 – y 2 / b 2 = 1
- 抛物线：当a> 0时y 2 = 4ax
圆锥曲线示例
如果平面恰好在圆锥体的顶点处相交，则可能出现以下情况：
- 如果α<β≤90 °，则平面与顶点精确相交。
- 如果α=β，则与圆锥相交的平面会形成包含圆锥生成器的直线。这种情况是抛物线的退化形式。
- 如果0≤β<α，则形成的截面是一对相交的直线。这种情况是双曲线的退化形式。
